Bài tập 3, § 4

Hàm số một biến thực, V

Chứng minh rằng, đối với mọi chuỗi hội tụ $(u_n)$ có các số hạng $> 0$ , tồn tại một chuỗi $(v_n)$ có tổng vô hạn, và các số hạng $> 0$ , sao cho $\liminf_{n \to \infty} v_n / u_n = 0$ .

Cho $(u_n)$ là một dãy giảm các số $> 0$ ; nếu tồn tại một số nguyên k sao cho $u_{kn} \geq u_n$ với mọi n kể từ một điểm nào đó trở đi, thì chuỗi có số hạng tổng quát $u_n$ có một tổng hữu hạn.

Cho $(u_n)$ là một chuỗi có các số hạng $> 0$ kể từ một điểm nào đó trở đi. Chứng minh rằng nếu

\limsup_{n \to \infty} \left( \frac{u_{n+1}}{u_n} \right)^n < \frac{1}{e}

thì chuỗi hội tụ, và nếu

\liminf_{n \to \infty} \left( \frac{u_{n+1}}{u_n} \right)^n \geq \frac{1}{e}

thì chuỗi có một tổng vô hạn.

Cho $(u_n)$ là một chuỗi các số thực $\neq 0$ sao cho $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$ . Chứng minh rằng nếu tồn tại một $r > r$ sao cho $0 < r < 1$ và nếu kể từ một điểm nào đó trở đi ta có $-1 \leq u_{n+1}/u_n \leq r$ , thì chuỗi (u_n) hội tụ.

Cho $(u_n)$ là một chuỗi hội tụ có các số hạng $> 0$ . Chứng minh rằng

\lim_{n \to \infty} \frac{u_1 + 2u_2 + \cdots + nu_n}{n} = 0.

Chứng minh rằng

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{u_1 + 2u_2 + \cdots + nu_n}{n(n+1)} = \sum_{n=1}^{\infty} u_n

\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}

Suy ra từ a) và b) rằng

\lim_{n \to \infty} n(u_1 u_2 \ldots u_n)^{1/n} = 0

rằng

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n! u_1 u_2 \ldots u_n)^{1/n}}{n+1} < \sum_{n=1}^{\infty} u_n

bất đẳng thức (8) của III, p. 93).

) Cho (z_n) là một dãy các số phức. Chứng minh rằng nếu các chuỗi có số hạng tổng quát $z_n, z_n^2, \ldots, z_n^{q-1}, |z_n|^q$ hội tụ, thì tích vô hạn có nhân tử tổng quát $1 + z_n$ hội tụ.

$z_n$ là thực và nếu chuỗi có số hạng tổng quát $z_n$ hội tụ, thì tích vô hạn nhân tử tổng quát $1 + z_n$ hội tụ nếu chuỗi có số hạng tổng quát $z_n^2$ hội tụ, và

\prod_{n=1}^{\infty} (1 + z_n) = 0 \quad \text{ nếu } \quad \sum_{n=1}^{\infty} z_n^2 = +\infty.

với mọi số nguyên

p \geq 2

đặt

k_p = [\log \log p], \quad h_p = \sum_{j=1}^{p-1} k_j, \quad \omega_p = \frac{2\pi}{k_p}.

Định nghĩa dãy $(z_n)$ các số phức theo cách sau: với $n = h_p + m$ , $0 \leq m \leq k_p - 1$ , đặt $z_n = e^{m i \omega_p} / \log p$ . Chứng minh rằng với mọi số nguyên $q > 0$ chuỗi có số hạng tổng quát $z_n^q$ hội tụ, nhưng tích có nhân tử tổng quát $1 + z_n$ không hội tụ.

9) a) Chứng minh, với sự trợ giúp của công thức Stirling, rằng cực đại của hàm $f_n(x) = \left| e^{2x} - e^{-x} \sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{x^k}{k!} \right|$ trên khoảng $[0, +\infty[$ tiến tới 0 theo $1/n$ .

b) Suy ra, bằng quy nạp trên số nguyên $p$ , rằng với mọi $\varepsilon > 0$ tồn tại một đa thức $g(x)$ sao cho $\left| e^{px} - e^{-x} g(x) \right| \leq \varepsilon$ với mọi $x \geq 0$ (thay $x$ bởi $px/2$ trong a), và áp dụng giả thiết quy nạp cho $e^{(p-1)x/2}$ .

10) Với mọi số $\alpha > 0$ suy ra công thức

1^{\alpha n} + 2^{\alpha n} + \cdots + n^{\alpha n} \sim \frac{n^{\alpha n}}{1 - e^{-\alpha}}

khi n tiến tới

+\infty

11) Với mọi số $\alpha > 0$ suy ra công thức

(1!)^{-\alpha/n} + (2!)^{-\alpha/n} + \cdots + (n!)^{-\alpha/n} \sim \frac{1}{\alpha} \frac{n}{\log n}

khi

n

tiến tới

+\infty

(so sánh mỗi số hạng

(p!)^{-\alpha/n}

với

n^{-\alpha p/n}

Lời giải

Chưa có lời giải nào được viết.