Bài tập 1, § 1

Cho g là một hàm chính quy, và > 0 trên ]0, +∞[.

a) Cho u, v là hai hàm tăng trên ]0, +∞[ sao cho u(x + 1) − u(x) = v(x + 1) − v(x) = g(x) với mọi x > 0. Chứng minh rằng nếu w = u − v thì có

(Nhận xét rằng, với a ≤ x ≤ y ≤ a + 1 ta có u(y) − u(x) ≤ g(a).) Đặc biệt, nếu $\inf_{x > 0} g(x) = 0$ thì tồn tại nhiều nhất một nghiệm tăng của phương trình $u(x + 1) - u(x) = g(x)$ nhận một giá trị đã cho tại một điểm đã cho.

b) Giả sử rằng g giảm trên ]0, +∞[. Chứng minh rằng chuỗi

hội tụ tuyệt đối và đều trên mọi khoảng compact được chứa trong ]0, +∞[: nếu $\lambda = \lim_{x \to +\infty} g(x)$ thì hàm $u(x) = \varphi(x) + \lambda x$ là một nghiệm tăng của phương trình $u(x + 1) - u(x) = g(x)$. Chứng minh rằng đối với mọi nghiệm tăng v của phương trình này ta có $v(y) - v(x) \geq \varphi(y) - \varphi(x)$ với $0 < x < y$. Bao trên (tương ứng, bao dưới) của tập hợp các nghiệm tăng của phương trình $u(x + 1) - u(x) = g(x)$ nhận một giá trị đã cho tại một điểm đã cho là gì? Chứng minh rằng tập hợp này suy biến thành một phần tử duy nhất khi và chỉ khi $\lambda = 0$.

c) Chứng minh rằng nếu g(x) là tăng và > 0 trên [0, +∞[ thì có vô hạn nghiệm tăng của phương trình $u(x + 1) - u(x) = g(x)$ nhận một giá trị đã cho tại một điểm đã cho.

d) Cho $\psi(x)$ là hàm được xác định trên ]0, +∞[ bởi các điều kiện: $\psi(x) = 0$ với $0 \leq x < 1$, $\psi(x) = 1$ với $1 \leq x < 2$, $\psi(x) = n$ với $n - 1 + \frac{1}{n-1} \leq x < n + \frac{1}{n}$ ($n \geq 2$); cho $g(x) = \psi(x + 1) - \psi(x)$. Chứng minh rằng $\psi$ là nghiệm tăng duy nhất của phương trình

sao cho $u(1) = 1$.