Exercice 1, § 1

Soit g une fonction réglée et > 0 dans ]0, +∞[. a) Soient u, v deux fonctions croissantes dans ]0, +∞[, telles que $u(x+1) - u(x) = v(x+1) - v(x) = g(x)$ pour tout $x > 0$. Montrer que si $w = u - v$, on a

(Remarquer que, pour $a \leq x \leq y \leq a+1$, on a $u(y) - u(x) \leq g(a)$.) En particulier, si $\inf_{x > 0} g(x) = 0$, il existe au plus une solution croissante de l’équation $u(x+1) - u(x) = g(x)$ prenant une valeur donnée en un point donné. b) On suppose que g décroissante dans ]0, +∞[. Montrer que la série est absolument et uniformément convergente dans tout intervalle compact contenu dans ]0, +∞[; si $\lambda = \lim_{x \to +\infty} g(x)$, la fonction $u(x) = \varphi(x) + \lambda x$ est une solution croissante de l’équation $u(x+1) - u(x) = g(x)$. Montrer que pour toute solution croissante v de cette équation, on a $u(y) - v(x) \geq \varphi(y) - \varphi(x)$ pour $0 < x < y$. Quelle est l’enveloppe supérieure (resp. inférieure) de l’ensemble des solutions croissantes de l’équation $u(x+1) - u(x) = g(x)$ prenant une valeur donnée en un point donné? Montrer que, pour que cet ensemble se réduise à un seul élément, il faut et il suffit que $\lambda = 0$. c) Montrer que si g(x) est croissante et > 0 dans (0, +∞[, il existe une infinité de solutions croissantes de l’équation $u(x+1) - u(x) = g(x)$ qui prennent une valeur donnée en un point donné. d) Soit $\psi(x)$ la fonction définie dans ]0, +∞[ par les conditions: $\psi(x) = 0$ pour $0 \leq x < 1$, $\psi(x) = 1$ pour $1 \leq x < 2$, $\psi(x) = n$ pour $n-1 + \frac{1}{n-1} \leq x < n + \frac{1}{n}$ ($n \geq 2$); soit $g(x) = \psi(x+1) - \psi(x)$. Montrer que $\psi$ est la seule solution croissante de l’équation telle que $u(1) = 1$.