Bài tập 2, § 1

Cho g là một hàm tăng liên tục trên ]0, $+\infty$[.

a) Chứng minh rằng nếu $\liminf_{x \to +\infty} g(x)/x = 0$ thì tồn tại nhiều nhất một nghiệm lồi của phương trình $u(x + 1) - u(x) = g(x)$ nhận một giá trị đã cho tại một điểm đã cho (nhận xét rằng với mọi $h > 0$ hàm $v(x) = u(x + h) - u(x)$ là một hàm tăng thỏa mãn phương trình $v(x + 1) - v(x) = g(x + h) - g(x)$, và áp dụng bài tập 1 a)).

b) Chứng minh rằng nếu $g$ là lõm trên ]0, $+\infty$[ thì tồn tại một nghiệm lồi của phương trình $u(x + 1) - u(x) = g(x)$; tồn tại một nghiệm lồi duy nhất của phương trình này nhận một giá trị đã cho tại một điểm đã cho khi và chỉ khi $\lim_{x \to +\infty} g(x)/x = 0$ (xem bài tập 1 b)).

c) Từ đây về sau giả sử rằng $g$ tăng và lõm trên ]0, $+\infty$[, và rằng $\lim_{x \to +\infty} g(x)/x = 0$. Với mọi cặp số $h > 0, k > 0$ và mọi hàm thực hữu hạn $f$ xác định trên ]0, $+\infty$[, ta đặt

với $x > k$. Chứng minh rằng nếu $u$ là một nghiệm lồi của phương trình $u(x + 1) - u(x) = g(x)$, ta có $\lim_{x \to +\infty} \Delta(u(x); h, k) = 0$ với mọi $h > 0$ và $k > 0$ (sử dụng biểu thức của $u'_r$ từ bài tập 1 b) của VII, p. 325).

d) Với ký hiệu của c), chứng minh rằng tồn tại một hằng $\alpha$ sao cho ta có $u(x) = v(x) + \alpha$, với

trong đó ta đã đặt hơn nữa, ta có (Nhận xét rằng $v(x + 1) - v(x) = g(x)$ và rằng $\lim_{x \to +\infty} \Delta(v(x); h, k) = 0$ không phụ thuộc vào $h > 0$ và $k > 0$.)