Exercice 2, § 1

Soit g une fonction continue et croissante dans ]0, +∞[. a) Montrer que si $\lim_{x \to +\infty} \inf g(x)/x = 0$, il existe au plus une solution convexe de l’équation $u(x+1) - u(x) = g(x)$ prenant une valeur donnée en un point donné (remarquer que pour tout $h > 0$, la fonction $v(x) = u(x+h) - u(x)$ est une fonction croissante satisfaisant à l’équation $v(x+1) - v(x) = g(x+h) - g(x)$, et appliquer l’exerc. 1 a)). b) Montrer que si g est concave dans ]0, +∞[, il existe une solution convexe de l’équation $u(x+1) - u(x) = g(x)$; pour qu’il existe une seule solution convexe de cette équation prenant une valeur donnée en un point donné, il faut et il suffit que $\lim_{x \to +\infty} g(x)/x = 0$ (cf. exerc. 1 b)). c) On suppose désormais que g est croissante et concave dans ]0, +∞[, et que $\lim_{x \to +\infty} g(x)/x = 0$. Pour tout couple de nombres $h > 0$, $k > 0$, et toute fonction numérique finie f définie dans ]0, +∞[, on pose

pour $x > k$. Montrer que si u est une solution convexe de l’équation $u(x+1) - u(x) = g(x)$, on a $\lim_{x \to +\infty} \Delta(u(x); h, k) = 0$ quels que soient $h > 0$ et $k > 0$ (utiliser l’expression de $u'_a$ tirée de l’exerc. 1 b) de VII, p. 19). d) Avec les notations de c), montrer qu’il existe une constante $\alpha$ telle que l’on ait $u(x) = v(x) + \alpha$, avec où on a posé en outre, on a (Remarquer que $v(x+1) - v(x) = g(x)$, et que $\lim_{x \to +\infty} \Delta(v(x); h, k) = 0$ quels que soient $h > 0$ et $k > 0$.)