Bài tập 3, § 1

a) Cho $g$ là một hàm được xác định và nhận đạo hàm $k^{th}$ liên tục trên ]0, $+\infty[$, sao cho $g^{(k)}$ giảm trên khoảng này và $\lim_{x \to +\infty} g^{(k)}(x) = 0$. Chứng minh rằng tồn tại một và chỉ một nghiệm $u$ của phương trình $u(x + 1) - u(x) = g(x)$ nhận đạo hàm $k^{th}$ tăng trên ]0, $+\infty[$ và nhận một giá trị cho trước tại một điểm cho trước (dùng Bài tập 1 b)).

b) Cho $\alpha$ là một số thực tùy ý. Cho $S_\alpha$ là hàm được xác định trên ]0, $+\infty[$ thỏa mãn quan hệ

sao cho $S_\alpha(1) = 0$, và hơn nữa đạo hàm của $S_\alpha$ có cấp bằng phần nguyên của $(\alpha + 1)^+$ là tăng (đó là một hàm duy nhất theo $a$) ). Chứng minh rằng và với mọi số nguyên $p \geq 1$, trong đó $C_\alpha$ là một hằng số, khi $\alpha \neq -1$ thì bằng (xem VII, p.318, mệnh đề 2 và VI, p. 291, Bài tập 3).