Exercice 3, § 1

a) Soit $g$ une fonction définie et admettant une dérivée $k$-ème continue dans ]$0, +\infty[$, telle que $g^{(k)}$ soit décroissante dans cet intervalle et que $\lim_{x \to +\infty} g^{(k)}(x) = 0$. Montrer qu’il existe une solution et une seule $u$ de l’équation $u(x+1) - u(x) = g(x)$ qui admette dans ]$0, +\infty[$ une dérivée $k$-ème croissante et prenne une valeur donnée en un point donné (utiliser l’exerc. 1 b)). b) Soit $\alpha$ un nombre réel quelconque. Soit $S_\alpha$ la fonction définie dans ]$0, +\infty[$, satisfaisant à la relation

telle que $S_\alpha(1) = 0$, et en outre telle que la dérivée de $S_\alpha$ d’ordre égal à la partie entière de $(\alpha + 1)^+$ soit croissante (fonction qui est unique d’après a)). Montrer que l’on a et pour tout entier $p \geq 1$, où $C_\alpha$ est une constante qui, lorsque $\alpha \neq -1$, est égale à (cf. VII, p. 14, prop. 2 et VI, p. 23, exerc. 3).