Bài tập 1, § 2

a) Cho $g$ là một hàm thực liên tục đối với $x \geq 0$. Chứng minh rằng nếu $g$ thỏa mãn hai đẳng thức

thì nó cũng thỏa mãn đẳng thức

b) Suy ra từ điều này rằng nếu một hàm $g$ có đạo hàm liên tục đối với $x \geq 0$ và thỏa mãn đẳng thức

thì nó có dạng $a(x-\frac{1}{2})$, trong đó $a$ là một hằng (nhận xét rằng $g$ thỏa mãn đẳng thức tương tự trong đó $p$ được thay bởi $p^n$; cho $n$ tiến tới $+\infty$ và suy ra rằng $g'(x) = \int_0^1 g'(t)\,dt$).

c) Kết luận từ b) rằng hàm $\Gamma$ là hàm duy nhất có đạo hàm liên tục đối với $x > 0$, thỏa mãn phương trình (1) của VII, p. 305, và công thức phép nhân (12) của VII, p. 318, với một giá trị của $p$.