Exercice 1, § 2

Fonctions d’une variable réelle, VII, p. 21

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

a) Soit g une fonction numérique continue pour $x \geq 0$ . Montrer que si g vérifie les deux identités

\sum_{k=0}^{p-1} g\left( \frac{x+k}{p} \right) = g(x)

\sum_{h=0}^{q-1} g\left( \frac{x+h}{q} \right) = g(x)

elle vérifie aussi l’identité

\sum_{j=0}^{pq-1} g\left( \frac{x+j}{pq} \right) = g(x).

b) En déduire que si une fonction g a une dérivée continue pour $x \geq 0$ et vérifie l’identité

\sum_{k=0}^{p-1} g'\left( \frac{x+k}{p} \right) = g(x)

elle est de la forme $a(x-\frac{1}{2})$ , où a est une constante (remarquer que g vérifie une identité analogue, où p est remplacé par $p^n$ ; faire tendre n vers $+\infty$ , et en déduire que $g'(x) = \int_0^1 g'(t)\,dt$ ).

c) Conclure de b) que la fonction $\Gamma$ est la seule fonction ayant une dérivée continue pour $x > 0$ , vérifiant l’équation (1) de VII, p. 1, et la formule de multiplication (12) de VII, p. 14, pour une valeur de $p$ .

Solution

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