Bài tập 8, § 1

Cho $(E_\ell)$ là một họ các không gian có thứ tự dàn đầy đủ, E là không gian tích của các $E_\ell$ (cũng là có thứ tự dàn đầy đủ). Chứng minh rằng nếu B là một băng trong E, thì mỗi phép chiếu của nó $B_\ell = \mathrm{pr}_\ell(B)$ là một băng trong $E_\ell$, và B trùng với tích của các $B_\ell$. Từ đó, suy ra sự xác định các băng trong không gian $\mathbf{R}^A$ các ánh xạ của một tập hợp A vào $\mathbf{R}$. Chứng minh rằng, trong không gian $\mathscr{B}(A)$ các hàm thực bị chặn trên A, mỗi băng là vết trên $\mathscr{B}(A)$ của một băng trong $\mathbf{R}^A$.