Bài tập 1, § 4

Cho X, Y là hai không gian compact địa phương.

a) Chứng minh rằng ánh xạ $(\mu, \nu) \mapsto \mu \otimes \nu$ từ $\mathscr{M}(X; \mathbf{C}) \times \mathscr{M}(Y; \mathbf{C})$ vào $\mathscr{M}(X \times Y; \mathbf{C})$ là liên tục khi $\mathscr{M}(X; \mathbf{C}),\ \mathscr{M}(Y; \mathbf{C})$ và $\mathscr{M}(X \times Y; \mathbf{C})$ được trang bị tôpô nửa mạnh ($§ 1$, Bài tập 8).

b) Chứng minh rằng ánh xạ $(\mu, \nu) \mapsto \mu \otimes \nu$ từ $\mathscr{M}_+(X) \times \mathscr{M}_+(Y)$ vào $\mathscr{M}_+(X \times Y)$ là liên tục khi $\mathscr{M}_+(X),\ \mathscr{M}_+(Y)$ và $\mathscr{M}_+(X \times Y)$ được trang bị tôpô yếu.