Bài tập 4, § 1

Cho $X$ là một không gian compact địa phương, $\alpha$ là một hàm số hữu hạn dương $\geqslant 0$ trên $X$ sao cho, với mọi tập con compact $K$ của $X$, $\sum_{x \in K} \alpha(x)$ là hữu hạn; cho $\mu$ là độ đo dương trên $X$ được xác định bởi các khối lượng $\alpha(x)$ (Ch. III, §1, No. 3, Ví dụ I).

a) Chứng minh rằng với mọi hàm $f \geqslant 0$, nửa liên tục dưới trên $X$, ta có $\mu^*(f) = \sum_{x \in X} \alpha(x)f(x)$, với quy ước rằng $\alpha(x)f(x) = 0$ khi $\alpha(x) = 0$ và $f(x) = +\infty$.

b) Cho $f \geqslant 0$ là một hàm số bất kỳ xác định trên $X$. Chứng minh rằng nếu $\mu^*(f) < +\infty$, thì $\mu^*(f) = \sum_{x \in X} \alpha(x)f(x)$, với cùng quy ước như trong a). (Xem Bài tập 5.)