Exercice 4, § 1

Soient $X$ un espace localement compact, $\alpha$ une fonction numérique finie et $\geqslant 0$ dans $X$, telle que, pour toute partie compacte $K$ de $X$, $\sum_{x \in K} \alpha(x)$ soit finie; soit $\mu$ la mesure positive sur $X$ définie par les masses $\alpha(x)$ (chap. III, § 1, n\textsuperscript{o} 3, Exemple I). a) Montrer que pour toute fonction $f \geqslant 0$, semi-continue inférieurement dans $X$, on a $\mu^*(f) = \sum_{x \in X} \alpha(x)f(x)$, en convenant de poser $\alpha(x)f(x) = 0$ lorsque $\alpha(x) = 0$ et $f(x) = +\infty$. b) Soit $f \geqslant 0$ une fonction numérique quelconque définie dans $X$. Montrer que si $\mu^*(f) < +\infty$, on a $\mu^*(f) = \sum_{x \in X} \alpha(x)f(x)$ avec la même convention que dans a). (Cf. exerc. 5).