Bài tập 6, § 1

Cho $f$ là một hàm số số học $\geq 0$ xác định trên X.

a) Chứng minh rằng, để ánh xạ $\mu \mapsto \mu^*(f)$ của $\mathscr{M}_+(X)$ vào $\overline{\mathbf{R}}$ là liên tục đối với tôpô vague, thì điều kiện cần (và đủ) là $f$ liên tục với giá compact (sử dụng Bài tập 2). Để $\mu \mapsto \mu^*(f)$ là nửa liên tục dưới đối với tôpô vague, thì điều kiện cần (và đủ, xem Mệnh đề 4) là $f$ nửa liên tục dưới.

b) Chứng minh rằng, để ánh xạ $\mu \mapsto \mu^*(f)$ của $\mathscr{M}_+(X)$ vào $\overline{\mathbf{R}}$ là liên tục đối với tôpô gần mạnh (Chương III, §1, Bài tập 8), thì điều kiện cần và đủ là $f$ bị chặn và có giá compact (phương pháp tương tự như của a)). Từ đó, suy ra rằng đối với mọi hàm $f \geq 0$ bằng không trên phần bù của một hợp đếm được các tập compact, ánh xạ $\mu \mapsto \mu^*(f)$ là nửa liên tục dưới đối với tôpô gần mạnh (sử dụng Định lý 3) (xem Bài tập 7 b)).

c) Chứng minh rằng, để ánh xạ $\mu \mapsto \mu^*(f)$ của $\mathscr{M}_+(X) \cap \mathscr{M}^1(X)$ vào $\overline{\mathbf{R}}$ là liên tục đối với tôpô siêu mạnh (Chương III, §1, Bài tập 15), thì điều kiện cần và đủ là $f$ bị chặn; đối với mọi hàm $f \geq 0$ xác định trên X, $\mu \mapsto \mu^*(f)$ là nửa liên tục dưới đối với tôpô siêu mạnh.

d) Chứng minh rằng, để ánh xạ $\mu \mapsto \mu^*(f)$ của $\mathscr{M}_+(X) \cap \mathscr{M}^1(X)$ vào $\overline{\mathbf{R}}$ là liên tục đối với tôpô yếu (Chương III, §1, Bài tập 15), thì điều kiện cần và đủ là $f$ liên tục trên X và tiến về 0 tại điểm ở vô cực; để $\mu \mapsto \mu^*(f)$ là nửa liên tục dưới đối với tôpô yếu, thì điều kiện cần và đủ là $f$ nửa liên tục dưới.