Exercice 6, § 1

Soit $f$ une fonction numérique $\geq 0$ définie dans X.

a) Montrer que, pour que l’application $\mu \mapsto \mu^*(f)$ de $\mathscr{M}_+(X)$ dans $\bar{\mathbf{R}}$ soit continue pour la topologie vague, il faut (et il suffit) que $f$ soit continue et à support compact (utiliser l’exerc. 2). Pour que $\mu \mapsto \mu^*(f)$ soit semi-continue inférieurement pour la topologie vague, il faut (et il suffit, cf. prop. 4) que $f$ soit semi-continue inférieurement.

b) Montrer que, pour que l’application $\mu \mapsto \mu^*(f)$ de $\mathscr{M}_+(X)$ dans $\bar{\mathbf{R}}$ soit continue pour la topologie quasi-forte (chap. III, § 1, exerc. 8), il faut et il suffit que $f$ soit bornée et à support compact (méthode analogue à celle de a)). En déduire que pour toute fonction $f \geq 0$ nulle dans le complémentaire d’une réunion dénombrable d’ensembles compacts, l’application $\mu \mapsto \mu^*(f)$ est semi-continue inférieurement pour la topologie quasi-forte (utiliser le th. 3) (cf. exerc. 7 b)).

c) Montrer que, pour que l’application $\mu \mapsto \mu^*(f)$ de $\mathscr{M}_+(X) \cap \mathscr{M}^1(X)$ dans $\bar{\mathbf{R}}$ soit continue pour la topologie ultraforte (chap. III, § 1, exerc. 15), il faut et il suffit que $f$ soit bornée; pour toute fonction $f \geq 0$ définie dans X, $\mu \mapsto \mu^*(f)$ est semi-continue inférieurement pour la topologie ultraforte.

d) Montrer que, pour que l’application $\mu \mapsto \mu^*(f)$ de $\mathscr{M}_+(X) \cap \mathscr{M}^1(X)$ dans $\bar{\mathbf{R}}$ soit continue pour la topologie faible (chap. III, § 1, exerc. 15), il faut et il suffit que $f$ soit continue dans X et tende vers 0 au point à l’infini; pour que $\mu \mapsto \mu^*(f)$ soit semi-continue inférieurement pour la topologie faible, il faut et il suffit que $f$ soit semi-continue inférieurement.