Bài tập 8, § 1

a) Cho $(\mu_n)$ là một dãy giảm các độ đo $\geq 0$ trên một không gian địa phương compact X, và cho $\mu$ là cận dưới lớn nhất của dãy trong $\mathscr{M}_+(X)$. Chứng minh rằng nếu $f$ là một hàm $\geq 0$ sao cho $\mu_n^*(f) < +\infty$ kể từ một chỉ số nào đó trở đi, thì $\mu^*(f) = \inf_n \mu_n^*(f)$ (khi $g$ là nửa liên tục dưới, dương, và thỏa mãn $\mu^*(g) < +\infty$, chú ý rằng tồn tại một dãy $(h_m)$ các hàm liên tục $\geqslant 0$ có giá compact, sao cho

b) Trên không gian rời rạc $X = \mathbf{N}$, cho $\mu_n$ là độ đo được xác định bằng cách đặt khối lượng +1 tại mỗi điểm $m \geqslant n$. Chứng minh rằng cận dưới lớn nhất của dãy giảm $(\mu_n)$ trong $\mathscr{M}_+(X)$ là 0, nhưng $\mu_n^*(X) = +\infty$ đối với mọi $n$.