Exercice 8, § 1

a) Soit $(\mu_n)$ une suite décroissante de mesures $\geq 0$ sur un espace localement compact X, et soit $\mu$ la borne inférieure de cette suite dans $\mathscr{M}_+(X)$. Montrer que pour toute fonction $f \geq 0$ telle que $\mu_n^*(f) < +\infty$ à partir d’un certain indice, on a $\mu^*(f) = \inf_n \mu_n^*(f)$ (lorsque g est semi-continue inférieurement, positive et telle que $\mu^*(g) < +\infty$, remarquer qu’il existe une suite $(h_m)$ de fonctions continues $\geq 0$ à support compact, telle que $\sum_{m=1}^{\infty} h_m \leq g$ et $\mu_n^*(g) = \sum_{m=1}^{\infty} \mu_n^*(h_m)$ pour tout indice $n$.

b) Sur l’espace discret $X = \mathbf{N}$, soit $\mu_n$ la mesure définie par la masse +1 placée en chaque point $m \geq n$. Montrer que la borne inférieure de la suite décroissante $(\mu_n)$ est 0 dans $\mathscr{M}_+(X)$, mais que l’on a $\mu_n^*(X) = +\infty$ pour tout $n$.