Bài tập 7, § 5

Cho $X$ là khoảng $[0, 1]$ trong $\mathbf{R}$, và $F$ là không gian Hilbert có một cơ sở trực chuẩn $(e_t)_{0 \leqslant t \leqslant 1}$ đồng lực lượng với $X$.

a) Chứng minh rằng ánh xạ $f$ của $X$ vào $F$, sao cho $f(t) = e_t$ với $0 \leqslant t \leqslant 1$, không đo được đối với phép đo Lebesgue, nhưng ảnh ngược theo $f$ của mọi quả cầu đóng trong $F$ là đo được và, với mọi dạng tuyến tính liên tục $a'$ trên $F$, $\langle f, a' \rangle$ là không đáng kể.

b) Cho $H$ là một tập hợp không đo được trong $X$ (§ 4, Bài tập.