Bài tập 1, § 7

a) Cho $K$ là một tập con lồi compact của một không gian lồi địa phương Hausdorff $E$, $\mu$ là một độ đo dương trên $K$ có khối lượng 1, $b_\mu$ là trọng tâm của nó. Chứng minh rằng đối với mọi hàm dương $f$ trên $K$ là lõm và nửa liên tục dưới, ta có $f(b_\mu) \geq \int^* f d\mu$. (Chú ý rằng $f$ bị chặn (TVS, II, §2, Bài tập 32), do đó $-f$ là $\mu$-khả tích.) Từ đó, kết luận rằng nếu $f$ là một hàm nửa liên tục dưới (hoặc nửa liên tục trên) trên $K$ vừa lồi vừa lõm, thì $\int f d\mu = f(b_\mu)$.

b) Cho $I$ là khoảng $[0,1]$ của $\mathbf{R}$, $K$ là tập con của $\mathscr{M}_+(I)$ tạo bởi các độ đo dương có tổng khối lượng 1, là lồi và compact đối với tôpô hội tụ đơn giản, và cho $j : x \mapsto \varepsilon_x$ là đơn ánh chính tắc của $I$ vào $K$, là một đồng phôi của $I$ lên một không gian con của $K$. Với mỗi độ đo $\nu \in K$, đặt $g(\nu) = \sum_{x \in I} \nu(\{x\})$; đây là một hàm vừa lồi vừa lõm trong $K$; hơn nữa, nếu $g_n(\nu)$ là cận trên đúng của các $\nu(A)$ với mọi tập con hữu hạn $A$ của $I$ có nhiều nhất $n$ phần tử, thì $g_n$ là nửa liên tục trên trên $K$, và $g(\nu) = \lim_{n \to \infty} g_n(\nu)$ với mọi $\nu \in K$, do đó $g$ là $\lambda$-khả tích đối với mọi độ đo $\lambda$ trên $K$. Cho $\mu$ là độ đo trên $K$ sao cho $\int f d\mu = \int_I f(j(x)) dx$ với $f \in \mathscr{K}(X; \mathbf{R})$, là dương và có tổng khối lượng 1; chứng minh rằng $b_\mu$ là độ đo Lebesgue trên $I$ và rằng $\int g d\mu \neq g(b_\mu)$.