Exercice 1, § 7

a) Soient K une partie compacte convexe d’un espace localement convexe séparé E, $\mu$ une mesure positive de masse 1 sur K, $b_\mu$ son barycentre. Montrer que pour toute fonction positive $f$ concave et semi-continue inférieurement dans K, on a $f(b_\mu) \geq \int^* f d\mu$. (Remarquer que $f$ est bornée (Esp. vect. top., chap. II, 2e éd., § 2, exerc. 32) et par suite que $-f$ est $\mu$-intégrable). En conclure que si $f$ est une fonction semi-continue-inférieurement-(ou semi-continue supérieurement) dans K, à la fois convexe et concave, on a $\int f d\mu = f(b_\mu)$.

b) Soient I l’intervalle $[0, 1]$ de $\mathbf{R}$, K la partie de $\mathscr{M}_+(I)$ formée des mesures de masse totale 1, qui est convexe et compacte pour la topologie vague, et soit $j : x \mapsto \varepsilon_x$ l’injection canonique de I dans K, qui est un homéomorphisme de I sur un sous-espace de K. Pour toute mesure $\nu \in K$, on pose $g(\nu) = \sum_{x \in I} \nu(\{x\})$; c’est une fonction à la fois convexe et concave dans K ; en outre, si $g_n(v)$ est la borne supérieure des $v(A)$ pour toutes les parties finies A de I ayant au plus n éléments, $g_n$ est semi-continue supérieurement dans K, et l’on a $g(v) = \lim_{n \to \infty} g_n(v)$ pour toute $v \in K$, donc g est $\lambda$-intégrable pour toute mesure $\lambda$ sur K. Soit $\mu$ la mesure sur K telle que $\int f d\mu = \int_I f(j(x)) dx$ pour $f \in \mathscr{K}(K; \mathbf{R})$, qui est positive et de masse totale 1 ; montrer que $b_\mu$ est la mesure de Lebesgue sur I, et que l’on a $\int g d\mu \neq g(b_\mu)$.