Bài tập 2, § 7

Cho $X$ là một không gian compact, $\mathscr{P}$ là một tập hợp các hàm số nửa liên tục dưới trên $X$, nhận các giá trị trong $]-\infty, +\infty]$. Giả sử rằng $\mathscr{P}$ chứa các hằng hữu hạn; với mọi hàm $h \in \mathscr{P}$ và mọi độ đo dương $\mu$ trên $X$, $\mu^*(h)$ được xác định và $> -\infty$ (§4, Bài tập 5).

a) Với hai độ đo dương $\mu, \nu$ trên $X$, viết $\mu \prec \nu$ nếu $\mu^*(h) \leq \nu^*(h)$ với mọi hàm $h \in \mathscr{P}$. Chứng minh rằng quan hệ $\mu \prec \nu$ là một quan hệ tiền thứ tự trên $\mathscr{M}_+(X)$; nó kéo theo rằng $\mu(1) = \nu(1)$, $c\mu \prec c\nu$ với mọi $c > 0$, và $\mu + \lambda \prec \nu + \lambda$ với mọi độ đo $\lambda \in \mathscr{M}_+(X)$.

b) Giả sử rằng $\mathscr{P} + \mathscr{P} \subset \mathscr{P}$ và $c \cdot \mathscr{P} \subset \mathscr{P}$ với $c > 0$. Cho $\mu$ là một độ đo dương trên $X$, $f$ là một hàm trong $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$. Ký hiệu $Q_f$ là tập hợp các hàm $h \geq f$ thuộc $\mathscr{P}$, và $M_\mu$ là tập hợp các độ đo $\lambda \in \mathscr{M}_+(X)$ sao cho $\lambda \prec \mu$. Chứng minh rằng

(Với mọi hàm $g \in \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$, đặt $p(g) = \inf_{h \in Q_g} \mu^*(h)$. Chứng minh rằng $p(g + g') \leq p(g) + p(g')$ và $p(cg) = c \cdot p(g)$ với $g, g'$ trong $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ và $c > 0$; mặt khác, chứng minh rằng $M_\mu$ đồng nhất với tập hợp các độ đo $\lambda \in \mathscr{M}_+(X)$ sao cho, với mọi hàm $g \in \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$, ta có $\lambda(g) \leq p(g)$, và kết luận bằng cách áp dụng định lý Hahn-Banach.) Nếu các hàm trong $\mathscr{P}$ là liên tục và nếu $S_0(f)$ là bao dưới của $Q_f$, thì cũng có $\mu(S_0(f)) = \sup_{\lambda \in M_\mu} \lambda(f)$.

c) Nếu tập $\mathscr{P}_0$ gồm các hàm trong $\mathscr{P}$ liên tục và hữu hạn trên X là toàn trong $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$, thì quan hệ $\mu \prec \nu$ là một quan hệ thứ tự trên $\mathscr{M}_+(X)$. Nếu một độ đo $\nu \in \mathscr{M}_+(X)$ là cực đại đối với quan hệ thứ tự này, thì mọi độ đo $\nu'$ sao cho $0 \leqslant \nu' \leqslant \nu$ (đối với cấp thông thường) cũng là như vậy (lập luận bằng phản chứng sử dụng a)). Nếu $\mathscr{P}_0 = \mathscr{P}$ và $\mathscr{P}$ là toàn, thì mọi tập có hướng tăng đối với quan hệ thứ tự $\mu \prec \nu$ đều có một cận trên đúng trong $\mathscr{M}_+(X)$ đối với quan hệ này; đặc biệt, $\mathscr{M}_+(X)$ là quy nạp đối với quan hệ này.

d) Giả sử rằng các hàm trong $\mathscr{P}$ là liên tục và hữu hạn, rằng $\mathscr{P}$ là toàn trong $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$, và rằng $\mathscr{P} + \mathscr{P} \subset \mathscr{P}$ và $c \cdot \mathscr{P} \subset \mathscr{P}$ với mọi $c > 0$. Với mọi hàm $f \in \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$, ký hiệu $S(f)$ là bao dưới của các hàm $h \in -\mathscr{P}$ sao cho $f \leqslant h$; với mọi $\varepsilon > 0$, ký hiệu $K_{f,\varepsilon}$ là tập hợp các $x \in X$ sao cho $S(f)(x) \geqslant f(x) + \varepsilon$. Hãy chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương: α) Độ đo $\mu \in \mathscr{M}_+(X)$ là cực đại đối với quan hệ thứ tự $\lambda \prec \lambda'$. β) Với mọi hàm $f \in \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$, $\mu(S(f)) = \mu(f)$. β') Với mọi hàm $f \in \mathscr{P}$, $\mu(S(f)) = \mu(f)$. γ) Với mọi hàm $f \in \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ và mọi $\varepsilon > 0$, $\mu(K_{f,\varepsilon}) = 0$. γ') Với mọi hàm $f \in \mathscr{P}$ và mọi $\varepsilon > 0$, $\mu(K_{f,\varepsilon}) = 0$. (Áp dụng b) cho $-\mathscr{P}$.)

e) Dưới các giả thiết của d), hãy chứng minh rằng nếu $\mu$ và $\mu'$ là hai độ đo dương trên X cực đại đối với quan hệ $\prec$, thì $\mu + \mu'$ cũng như vậy. Từ đó, suy ra rằng tập hợp các độ đo dương cực đại đối với quan hệ thứ tự này là một dàn đối với quan hệ thứ tự thông thường $\leqslant$.