Exercice 2, § 7

Soient X un espace compact, $\mathscr{P}$ un ensemble de fonctions numériques semi-continues inférieurement dans X, prenant leurs valeurs dans ]$-\infty, +\infty$]. On suppose que $\mathscr{P}$ contient les constantes finies ; pour toute fonction $h \in \mathscr{P}$, et toute mesure positive $\mu$ sur X, $\mu^*(h)$ est défini et $> -\infty$ (§ 4, exerc. 5).

a) Pour deux mesures positives $\mu, \nu$ sur X, on pose $\mu < \nu$ si l’on a $\mu^*(h) \leq \nu^*(h)$ pour toute fonction $h \in \mathscr{P}$. Montrer que la relation $\mu < \nu$ est une relation de préordre sur $\mathscr{M}_+(X)$; elle entraîne $\mu(1) = \nu(1), c\mu < c\nu$ pour tout $c > 0$ et $\mu + \lambda < \nu + \lambda$ pour toute mesure $\lambda \in \mathscr{M}_+(X)$.

b) On suppose que $\mathscr{P} + \mathscr{P} \subset \mathscr{P}$ et que $c.\mathscr{P} \subset \mathscr{P}$ pour $c > 0$. Soient $\mu$ une mesure positive sur X, $f$ une fonction de $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$. On désigne par $Q_f$ l’ensemble des fonctions $h \geq f$ appartenant à $\mathscr{P}$, par $M_\mu$ l’ensemble des mesures $\lambda \in \mathscr{M}_+(X)$ telles que $\lambda < \mu$. Montrer que l’on a

(Pour toute fonction $g \in \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$, soit $p(g) = \inf_{h \in Q_g} \mu^*(h)$. Montrer que l’on a $p(g + g') \leq p(g) + p(g')$ et $p(c.g) = c.p(g)$ pour $g, g'$ dans $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ et $c > 0$; prouver d’autre part que $M_\mu$ est identique à l’ensemble des mesures $\lambda \in \mathscr{M}_+(X)$ telles que, pour toute fonction $g \in \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$, on ait $\lambda(g) \leq p(g)$, et terminer en appliquant le th. de Hahn–Banach). Si les fonctions de $\mathscr{P}$ sont continues, et si $S_0(f)$ est l’enveloppe inférieure de $Q_f$, on a aussi $\mu(S_0(f)) = \sup_{\lambda \in M_\mu} \lambda(f)$.

c) Si l’ensemble $\mathscr{P}_0$ des fonctions de $\mathscr{P}$ qui sont continues et finies dans X est total dans $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$, la relation $\mu < \nu$ est une relation d’ordre sur $\mathscr{M}_+(X)$. Si une mesure $\nu \in \mathscr{M}_+(X)$ est maximale pour cette relation d’ordre, il en est de même de toute mesure $\nu'$ telle que $0 \leq \nu' \leq \nu$ (pour l’ordre usuel) (raisonner par l’absurde en utilisant a)). Si $\mathscr{P}_0 = \mathscr{P}$ et si $\mathscr{P}$ est total, tout ensemble filtrant croissant pour la relation d’ordre $\mu < \nu$ admet une borne supérieure dans $\mathscr{M}_+(X)$ pour cette relation ; en particulier $\mathscr{M}_+(X)$ est inductif pour cette relation.

d) On suppose que les fonctions de $\mathscr{P}$ sont continues et finies, que $\mathscr{P}$ est total dans $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ et que l’on a $\mathscr{P} + \mathscr{P} \subset \mathscr{P}$ et $c.\mathscr{P} \subset \mathscr{P}$ pour tout $c > 0$. Pour toute fonction $f \in \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$, on note $S(f)$ l’enveloppe inférieure des fonctions $h \in -\mathscr{P}$ telles que $f \leq h$; pour tout $\varepsilon > 0$, on note $K_{f,\varepsilon}$ l’ensemble des $x \in X$ tels que $S(f)(x) \geq f(x) + \varepsilon$. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

α) La mesure $\mu \in \mathscr{M}_+(X)$ est maximale pour la relation d’ordre $\lambda < \lambda'$.

β) Pour toute fonction $f \in \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$, on a $\mu(S(f)) = \mu(f)$.

$\beta'$ Pour toute fonction $f \in \mathscr{P}$, on a $\mu(S(f)) = \mu(f)$. $\gamma$ Pour toute fonction $f \in \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ et tout $\varepsilon > 0$, on a $\mu(K_{f,\varepsilon}) = 0$. $\gamma'$ Pour toute fonction $f \in \mathscr{P}$ et tout $\varepsilon > 0$, on a $\mu(K_{f,\varepsilon}) = 0$. (Appliquer $b$) à $-\mathscr{P}$.

e) Sous les hypothèses de $d$), montrer que si $\mu$ et $\mu'$ sont deux mesures positives sur $X$, maximales pour la relation $<$, il en est de même de $\mu + \mu'$. En déduire que l’ensemble des mesures positives maximales pour cette relation d’ordre est réticulé pour la relation d’ordre usuelle $\leqslant$.