Bài tập 6, § 7

và có $g$ làm hàm dưới bao; khi đó áp dụng Bài tập 4 e). Để suy ra (v) từ (iv), nhận xét rằng $\mathscr{A}'$ có thể được đồng nhất với không gian con của $\mathscr{M}(X)$ sinh bởi các độ đo cực đại, nhờ Bài tập 4 e). Để suy ra (vi) từ (v), áp dụng bổ đề phân tích trong không gian Riesz $\mathscr{A}'$ và Bài tập 4 f). Cuối cùng, để suy ra (i) từ (vi), xét ánh xạ $f \mapsto S(f)(x)$ với $f \in \mathscr{P}$ và $x \in X$, và sử dụng Bài tập 4 e).) b) Khi các điều kiện của a) được thỏa mãn, hãy chứng minh rằng với mọi hàm $f \in \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$, ánh xạ $x \mapsto \beta_x(f)$ thuộc bao đóng, đối với tôpô của sự hội tụ đều trong $X$, của tập hợp các hàm bị chặn trên $X$ là hiệu của hai hàm nửa liên tục trên (sử dụng sự kiện rằng $\mathscr{P}$ là toàn phần trong $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$); do đó, ánh xạ này đo được đối với mọi độ đo trên $X$. Với mọi độ đo dương $\mu$ trên $X$, độ đo cực đại duy nhất $\nu \succ \mu$ được cho bởi $\nu = \int \beta_x d\mu(x)$ (cf. Ch. V). c) Khi các điều kiện của a) được thỏa mãn và $X$ ngoài ra mêtric hóa được, hãy chứng minh rằng với mọi $x \in X$, $\beta_x$ là độ đo dương duy nhất $\mu$ có khối lượng 1 và trọng tâm $x$ sao cho $\mu(X - L) = 0$, trong đó $L$ là tập hợp $\mathrm{Ch}_{\mathscr{A}}(X)$ các điểm cực biên (lập luận như trong Định lý 1). d) Khi các điều kiện của a) được thỏa mãn, hãy chứng minh rằng các tính chất sau là tương đương: $\alpha)$ Tập hợp $L = \mathrm{Ch}_{\mathscr{A}}(X)$ là đóng, nói cách khác $\check{S}_{\mathscr{A}}(X) = \mathrm{Ch}_{\mathscr{A}}(X)$. $\beta)$ Với mọi hàm $f \in \mathscr{P}$, hạn chế của $S(f)$ lên $\overline{L}$ là liên tục. $\gamma)$ Với mọi hàm $f \in \mathscr{P}$, hàm $S(f)$ là liên tục trên $X$. $\delta)$ Ánh xạ $x \mapsto \beta_x$ của $X$ vào $\mathscr{M}_+(X)$ (được trang bị tôpô yếu) là liên tục. (Để chứng minh rằng $\alpha$) kéo theo $\beta)$, nhận xét rằng $\beta_x = \varepsilon_x$ trong $L$. Để chứng minh rằng $\beta)$ kéo theo $\gamma)$, sử dụng sự kiện rằng $S(f)$ là hàm dưới bao của một tập có hướng giảm các hàm trong $\mathscr{A}$ (TVS, II, §5, Mệnh đề 6), định lý Dini và Bài tập 3 d) áp dụng cho các hàm trong $\mathscr{A}$. Để chứng minh rằng $\gamma)$ kéo theo $\delta)$, sử dụng Bài tập 4 e). Cuối cùng, để thấy rằng $\delta)$ kéo theo $\alpha)$, sử dụng Bài tập 4 a).)

¶ 6) Cho $X$ là một không gian compact khác rỗng, $\mathscr{H}$ là một không gian con tuyến tính của $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ chứa các hằng số và tách các điểm của $X$. Quan hệ $\lambda \prec \mu$ được xác định bởi $\mathscr{H}$ (Bài tập 2) khi đó là một quan hệ tương đương, và các điểm $\mathscr{H}$-cực biên theo nghĩa của Bài tập 3 trùng với các điểm $\mathscr{H}$-cực biên theo nghĩa của No. 3. Cho $F$ là một tập con đóng của $X$ chứa $\mathrm{Ch}_{\mathscr{H}}(X)$; với mỗi $x \in X$, ký hiệu $\mathscr{M}_x^F$ là tập hợp các độ đo dương $\mu$ trên $X$, có khối lượng toàn phần bằng 1, sao cho $\varepsilon_x \prec \mu$ và $\mathrm{Supp}(\mu) \subset F$; để $\varepsilon_x \in \mathscr{M}_x^F$, điều kiện cần và đủ là $x \in F$; quan hệ $x \in \mathrm{Ch}_{\mathscr{H}}(X)$ tương đương với $\mathscr{M}_x^F = \{\varepsilon_x\}$. Với mọi hàm số bị chặn $f$ xác định trên $F$ và mọi $x \in X$, đặt

là các số hữu hạn.

a) Chứng minh rằng ánh xạ $f \mapsto \overline{H}_x^F(f)$ từ $\mathscr{C}(F; \mathbf{R})$ vào $\mathbf{R}$ là tăng, thuần nhất dương và lồi. Nếu $h \in \mathscr{H}$, thì $\overline{H}_x^F(h) = h(x)$.

b) Với mọi $x \in X$, mọi độ đo $\mu \in \mathscr{M}_x^F$ và mọi hàm số $f \in \mathscr{C}(F; \mathbf{R})$, $\underline{H}_x^F(f) \leq \int f d\mu \leq \overline{H}_x^F(f)$. Ngược lại, nếu đối với một hàm số $f_0 \in \mathscr{C}(F; \mathbf{R})$, $\gamma$ là một số thực sao cho $\underline{H}_x^F(f_0) \leq \gamma \leq \overline{H}_x^F(f_0)$, thì tồn tại một độ đo $\mu \in \mathscr{M}_x^F$ sao cho $\gamma = \int f_0 d\mu$.

c) Chứng minh rằng đối với một hàm số $g \in \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$, các điều kiện sau là tương đương: $\alpha$ Với mọi $x \in X$ và mọi độ đo $\mu \in \mathscr{M}_x^F$, ta có $g(x) = \int g d\mu$. $\beta$ Với mọi $x \in X$, $\underline{H}_x^F(g|F) = \overline{H}_x^F(g|F) = g(x)$. $\gamma$ Với mọi $\varepsilon > 0$ tồn tại hai dãy hữu hạn $(h_i'), (h_j'')$ các hàm thuộc $\mathscr{H}$ sao cho, đặt $h' = \sup(h_i')$, $h'' = \inf(h_j'')$, ta có $h' \leq g \leq h''$ và $h'' - h' \leq \varepsilon$. (Để thấy rằng $\beta$ kéo theo $\gamma$), lập luận như trong GT, X, §4, No. 1, Mệnh đề 2.)

Khi một hàm $g \in \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ có các tính chất tương đương trước đó, nó được gọi là $\mathscr{H}$-điều hòa; tập hợp $\mathscr{H}^c$ của các hàm $\mathscr{H}$-điều hòa là một không gian con tuyến tính đóng của $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ chứa $\mathscr{H}$; nó độc lập với tập đóng $F \supset \mathrm{Ch}_{\mathscr{H}}(X)$ đang xét. Ta có $(\mathscr{H}^c)^c = \mathscr{H}^c$, và quan hệ tương đương trong $\mathscr{M}_+(X)$ được xác định bởi $\mathscr{H}^c$ trùng với quan hệ $\lambda \prec \mu$ được xác định bởi $\mathscr{H}$; do đó $\mathrm{Ch}_{\mathscr{H}^c}(X) = \mathrm{Ch}_{\mathscr{H}}(X)$. Ánh xạ $g \mapsto g|F$ là một phép đẳng cự tăng ngặt từ $\mathscr{H}^c$ lên ảnh của nó trong $\mathscr{C}(F; \mathbf{R})$ (do đó ảnh này là một không gian con đóng của $\mathscr{C}(F; \mathbf{R})$).

d) Lấy $X$ là khoảng $[0,1]$ của $\mathbf{R}$, và $\mathscr{H}$ là không gian vectơ của các hạn chế lên $X$ của các đa thức bậc hai trên $\mathbf{R}$. Chứng minh rằng $\mathscr{H}^c$ phân biệt với bao đóng $\overline{\mathscr{H}}$ của $\mathscr{H}$ trong $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$.

e) Chứng minh rằng để có $\mathrm{Ch}_{\mathscr{H}}(X) = X$, điều kiện cần và đủ là $\mathscr{H}^c = \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ (để chứng minh rằng điều kiện là cần thiết, dùng $b$).

f) Chứng minh rằng nếu $\mathscr{H}$ có thứ tự dàn (nói cách khác, là một không gian Riesz), thì $\mathscr{H}^c = \overline{\mathscr{H}}$. Cho một ví dụ trong đó $\mathscr{H}$ không có thứ tự dàn và $\mathscr{H}^c = \overline{\mathscr{H}}$.

g) Gọi $\mathscr{E}_{\mathscr{H}}$ là tập con đóng nhỏ nhất của $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ chứa $\mathscr{H}$ sao cho bao dưới $\inf(u, v)$ của hai hàm bất kỳ thuộc $\mathscr{E}_{\mathscr{H}}$ đều thuộc $\mathscr{E}_{\mathscr{H}}$. Chứng minh rằng các tính chất sau là tương đương: $\alpha$ $f \in \mathscr{E}_{\mathscr{H}}$; $\beta$ với mọi $x \in X$ và mọi độ đo $\mu \in \mathscr{M}_x^X$, $\int f d\mu \leq f(x)$; $\gamma$ $\overline{H}_x^X(f) = f(x)$ với mọi $x \in X$; $\delta$ với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một dãy hữu hạn $(h_i)$ các hàm thuộc $\mathscr{H}$ sao cho $f \leq \inf(h_i) \leq f + \varepsilon$. (Để thấy rằng $\beta$ suy ra $\gamma$), hãy sử dụng $b$.) Suy ra từ đó rằng $\mathscr{E}_{\mathscr{H}}$ là một nón lồi nhọn, và rằng $\mathscr{E}_{\mathscr{H}} \cap (-\mathscr{E}_{\mathscr{H}}) = \mathscr{H}^c$. Chứng minh rằng mọi hàm trong $\mathscr{E}_{\mathscr{H}}$ đạt được cực tiểu của nó trong $X$ tại ít nhất một điểm của $\mathrm{Ch}_{\mathscr{H}}(X)$.