Exercice 6, § 7

Soient X un espace compact non vide, $\mathscr{H}$ un sous-espace vectoriel de $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ contenant les constantes et séparant les points de X. La relation $\lambda < \mu$ définie par $\mathscr{H}$ (exerc. 2) est alors une relation d’équivalence, et les points $\mathscr{H}$-extrémaux au sens de l’exerc. 3 sont identiques aux points $\mathscr{H}$-extrémaux au sens du n° 3.

Soit F une partie fermée de X contenant $\mathrm{Ch}_\mathscr{H}(X)$; pour tout $x \in X$, on désigne par $\mathscr{M}_x^F$ l’ensemble des mesures positives $\mu$ sur X, de masse totale 1, telles que $\varepsilon_x < \mu$ et $\mathrm{Supp}(\mu) \subset F$; pour que $\varepsilon_x \in \mathscr{M}_x^F$, il faut et il suffit que $x \in F$; la relation $x \in \mathrm{Ch}_\mathscr{H}(X)$ équivaut à $\mathscr{M}_x^F = \{ \varepsilon_x \}$. Pour toute fonction numérique bornée $f$ définie dans F, et tout $x \in X$, on pose

qui sont des nombres finis.

a) Montrer que l’application $f \mapsto \overline{H}_x^F(f)$ de $\mathscr{C}(F; \mathbf{R})$ dans $\mathbf{R}$ est croissante, positivement homogène et convexe. Si $h \in \mathscr{H}$, on a $\overline{H}_x^F(h) = h(x)$.

b) Pour tout $x \in X$, toute mesure $\mu \in \mathscr{M}_x^F$ et toute fonction $f \in \mathscr{C}(F; \mathbf{R})$, on a $\underline{H}_x^F(f) \leq \int f d\mu \leq \overline{H}_x^F(f)$. Inversement, si, pour une fonction $f_0 \in \mathscr{C}(F; \mathbf{R})$, un nombre réel $\gamma$ est tel que $\underline{H}_x^F(f_0) \leq \gamma \leq \overline{H}_x^F(f_0)$, il existe une mesure $\mu \in \mathscr{M}_x^F$ telle que $\gamma = \int f_0 d\mu$.

c) Montrer que, pour une fonction $g \in \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$, les conditions suivantes sont équivalentes: $\alpha)$ Pour tout $x \in X$ et toute mesure $\mu \in \mathscr{M}_x^F$, on a $g(x) = \int g \, d\mu$. $\beta)$ Pour tout $x \in X$, on a $\underline{H}_x^F(g|F) = \overline{H}_x^F(g|F) = g(x)$. $\gamma)$ Pour tout $\varepsilon > 0$, il existe deux suites finies, $(h_i'), (h_j'')$ de fonctions de $\mathscr{H}$ telles que, si l’on pose $h' = \sup(h_i')$, $h'' = \inf(h_j'')$, on ait $h' \leq g \leq h''$ et $h'' - h' \leq \varepsilon$.

(Pour voir que $\beta$) entraîne $\gamma$), raisonner comme dans Top. gén., chap. X, 2e éd., § 4, n° 1, prop. 2.)

Lorsqu’une fonction $g \in \mathscr{C}(X ; \mathbf{R})$ possède les propriétés équivalentes précédentes, on dit qu’elle est $\mathscr{H}$-harmonique ; l’ensemble $\mathscr{H}^c$ des fonctions $\mathscr{H}$-harmoniques est un sous-espace vectoriel fermé de $\mathscr{C}(X ; \mathbf{R})$ contenant $\mathscr{H}$; il est indépendant de la partie fermée $F \supset \mathrm{Ch}_{\mathscr{H}}(X)$ considérée. On a $(\mathscr{H}^c)^c = \mathscr{H}^c$, et la relation d’équivalence définie par $\mathscr{H}^c$ dans $\mathscr{M}_+(X)$ est identique à la relation $\lambda < \mu$ définie par $\mathscr{H}$; on a par suite $\mathrm{Ch}_{\mathscr{H}^c}(X) = \mathrm{Ch}_{\mathscr{H}}(X)$. L’application $g \mapsto g|F$ est une isométrie strictement croissante de $\mathscr{H}^c$ sur son image dans $\mathscr{C}(F ; \mathbf{R})$ (qui est par suite un sous-espace fermé de $\mathscr{C}(F ; \mathbf{R})$).

d) On prend pour $X$ l’intervalle $\{0, 1\}$ de $\mathbf{R}$, pour $\mathscr{H}$ l’espace vectoriel des restrictions à $X$ des polynômes du second degré sur $\mathbf{R}$. Montrer que $\mathscr{H}^c$ est distinct de l’adhérence $\overline{\mathscr{H}}$ de $\mathscr{H}$ dans $\mathscr{C}(X ; \mathbf{R})$.

e) Montrer que pour que $\mathrm{Ch}_{\mathscr{H}}(X) = X$, il faut et il suffit que l’on ait $\mathscr{H}^c = \mathscr{C}(X ; \mathbf{R})$ (pour prouver que la condition est nécessaire, utiliser b)).

f) Montrer que si $\mathscr{H}$ est réticulé (autrement dit un espace de Riesz), on a $\mathscr{H}^c = \overline{\mathscr{H}}$. Donner un exemple où $\mathscr{H}$ n’est pas réticulé et $\mathscr{H}^c = \mathscr{H}$.

g) Soit $\mathscr{E}_{\mathscr{H}}$ la plus petite partie fermée de $\mathscr{C}(X ; \mathbf{R})$ contenant $\mathscr{H}$ et telle que l’enveloppe inférieure $\inf(u, v)$ de deux fonctions de $\mathscr{E}_{\mathscr{H}}$ appartenne à $\mathscr{E}_{\mathscr{H}}$. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes:

$\alpha)$ $f \in \mathscr{E}_{\mathscr{H}}$; $\beta)$ pour tout $x \in X$ et toute mesure $\mu \in \mathscr{M}_x^X$, $\int f d\mu \leq f(x)$; $\gamma)$ $\overline{H}_x^X(f) = f(x)$ pour tout $x \in X$; $\delta)$ pour tout $\varepsilon > 0$, il existe une suite finie $(h_i)$ de fonctions de $\mathscr{H}$ telle que $f \leq \inf(h_i) \leq f + \varepsilon$. (Pour voir que $\beta$) entraîne $\gamma$), utiliser b).)

En déduire que $\mathscr{E}_{\mathscr{H}}$ est un cône convexe pointé, et que l’on a $\mathscr{E}_{\mathscr{H}} \cap (-\mathscr{E}_{\mathscr{H}}) = \mathscr{H}^c$. Montrer que toute fonction de $\mathscr{E}_{\mathscr{H}}$ atteint sa borne inférieure dans $X$ en un point au moins de $\mathrm{Ch}_{\mathscr{H}}(X)$.