Bài tập 7, § 7

Cho X, Y là hai không gian compact địa phương, $\pi : X \to Y$ là một ánh xạ liên tục, T là một không gian con compact địa phương của Y, $S = \pi^{-1}(T)$, $\pi_T : S \to T$ là ánh xạ trùng với $\pi$ trên S, và $\nu$ là một độ đo dương trên Y. Chứng minh rằng ba điều kiện sau là tương đương:

a) Nếu $\nu_T$ là độ đo cảm sinh bởi $\nu$ trên T, thì tồn tại một độ đo dương $\mu_T$ trên S sao cho $\pi_T(\mu_T) = \nu_T$.

b) Tồn tại một độ đo dương $\lambda$ trên X sao cho $\pi(\lambda) = \nu_T$.

c) Tồn tại một độ đo dương $\lambda_S$ trên S sao cho $(\pi|S)(\lambda_S) = \nu_T$.