Exercice 7, § 7

Soient X, Y deux espaces localement compacts, $\pi : X \to Y$ une application continue, T un sous-espace localement compact de Y, $S = \bar{\pi}^1(T), -\pi_T : S \to T$ l’application coïncidant avec $\pi$ dans S, $\nu$ une mesure positive sur Y. Montrer que les trois conditions suivantes sont équivalentes: a) Si $\nu_T$ est la mesure induite par $\nu$ sur T, il existe une mesure positive $\mu_T$ sur S telle que $\pi_T(\mu_T) = \nu_T$. b) Il existe une mesure positive $\lambda$ sur X telle que $\pi(\lambda) = \nu_T$. c) Il existe une mesure positive $\lambda_S$ sur S telle que $(\pi|S)(\lambda_S) = \nu_T$.