Bài tập 8, § 7

Cho X, Y là hai không gian compact địa phương, $\pi : X \to Y$ là một ánh xạ liên tục, và $\nu$ là một độ đo dương trên Y tập trung trên $\pi(X)$. Giả sử rằng với mọi $y \in \pi(X)$, tồn tại một lân cận V của y trong Y và một độ đo dương $\lambda_V$ trên $\pi^{-1}(V)$ sao cho ảnh của $\lambda_V$ qua ánh xạ $\pi_V : \pi^{-1}(V) \to V$ trùng với $\pi$ bằng độ đo cảm sinh $\nu_V$. Hãy chứng minh rằng dưới các điều kiện này, tồn tại một độ đo dương $\mu$ trên X sao cho $\pi(\mu) = \nu$. (Xét tập hợp $\mathscr{G}$ gồm các cặp $(G, \lambda)$, trong đó G là mở trong Y và $\lambda$ là một độ đo dương trên X sao cho $\pi(\lambda) = \nu_G$. Sắp thứ tự $\mathscr{G}$ bởi quan hệ «$G_1 \subset G_2$ and $\lambda_1 \leq \lambda_2$ » giữa $(G_1, \lambda_1)$ và $(G_2, \lambda_2)$. Trước hết hãy chứng minh rằng tập hợp có thứ tự $\mathscr{G}$ là quy nạp, sau đó hoàn tất lập luận với sự trợ giúp của bổ đề Zorn và Bài tập 7.)