Exercice 8, § 7

Soient X, Y deux espaces localement compacts, $\pi : X \to Y$ une application continue, $\nu$ une mesure positive sur Y, concentrée sur $\pi(X)$. On suppose que pour tout $y \in \pi(X)$, il existe un voisinage V de y dans Y et une mesure positive $\lambda_V$ sur $\bar{\pi}^1(V)$ telle que l’image de $\lambda_V$ par l’application $\pi_V : \bar{\pi}^1(V) \to V$ qui coïncide avec $\pi$, soit égale à la mesure induite $\nu_V$. Montrer que dans ces conditions il existe une mesure positive $\mu$ sur X telle que $\pi(\mu) = \nu$. (Considérer l’ensemble $\mathscr{G}$ des couples $(G, \lambda)$, où $G$ est ouvert dans Y et $\lambda$ une mesure positive sur X telle que $\pi(\lambda) = \nu_G$. On ordonne $\mathscr{G}$ par la relation « $G_1 \subset G_2$ et $\lambda_1 \leq \lambda_2$ » entre $(G_1, \lambda_1)$ et $(G_2, \lambda_2)$. Montrer d’abord que l’ensemble ordonné $\mathscr{G}$ est inductif, puis achever le raisonnement à l’aide du th. de Zorn et de l’exerc. 7).