Bài tập 11, § 1

Cho $\mu$ là độ đo Lebesgue trên $T = [0,1]$, $F$ là một không gian Hilbert có một cơ sở trực chuẩn đếm được $(e_n)$. Cho $f$ là ánh xạ từ $T$ vào $F$ sao cho $f(0) = 0$ và $f(t) = 2^n e_n / n$ trên khoảng $]2^{-n-1}, 2^{-n}]$ ($n \geq 0$). Chứng minh rằng $f$ là $\mu$-đo được, tích phân được vô hướng theo $\mu$, và rằng $\int f\,d\mu \in F$, nhưng $\int^* |f|\,d\mu = +\infty$.