Exercice 11, § 1

Soient $\mu$ la mesure de Lebesgue sur $T = \{0, 1\}$, F un espace hilbertien ayant une base orthonormale dénombrable $(e_n)$. Soit f l’application de T dans F telle que $f(0) = 0$ et $f(t) = 2^n e_n / n$ dans l’intervalle $]2^{-n-1}, 2^{-n}]$ ($n \geqslant 0$). Montrer que f est $\mu$-mesurable, scalairement $\mu$-intégrable et telle que $\int f d\mu \in F$, mais que $\int_{\ast}^{*} |f| d\mu = + \infty$.