Bài tập 12, § 1

Cho $\mu$ là độ đo Lebesgue trên $T = [0,1]$, và cho $F$ là một không gian Hilbert có một cơ sở trực chuẩn $(e_t)_{t \in T}$ lực lượng bằng $T$.

a) Cho $f$ là ánh xạ $t \mapsto e_t$ của $T$ vào $F$. Chứng minh rằng $f$ là vô cùng bé theo vô hướng đối với $\mu$, nhưng không $\mu$-đo được khi $F$ được trang bị tôpô yếu $\sigma(F,F')$ (cũng không phải khi, a fortiori, $F$ được trang bị tôpô ban đầu của nó).

b) Cho $A$ là một tập hợp không đo được trong $T$ (Ch. IV, §4, Exer. 8); chứng minh rằng hàm $g = f \varphi_A$ là vô cùng bé theo vô hướng đối với $\mu$, nhưng hàm số $|g|$ không $\mu$-đo được.