Exercice 12, § 1

Soient $\mu$ la mesure de Lebesgue sur $T = \{0, 1\}$, et soit F un espace hilbertien ayant une base orthonormale $(e_t)_{t \in T}$ équipotente à T.

a) Soit f l’application $t \to e_t$ de T dans F. Montrer que f est scalairement $\mu$-négligeable, mais n’est pas $\mu$-mesurable lorsqu’on munit F de la topologie faible $\sigma(F, F')$ (ni a fortiori lorsqu’on munit F de la topologie initiale).

b) Soit A un ensemble non $\mu$-mesurable dans T (chap. IV, § 4, exerc. 8) ; montrer que la fonction $g = f_{\varphi_A}$ est scalairement $\mu$-négligeable, mais que la fonction numérique $|g|$ n’est pas $\mu$-mesurable.

Bourbaki XXV.