Bài tập 17, § 1

Cho $\mu$ là độ đo Lebesgue trên $T = [0, 1]$, $F$ là không gian Banach $L^1(\mathbf{N})$, $F' = L^\infty(\mathbf{N})$ là đối ngẫu của nó. Với mọi $t \in [0, 1[$, đặt $t = \sum_{n=0}^\infty \xi_n 2^{-n}$ là khai triển nhị phân của $t$; ký hiệu $f(t)$ là dãy $(\xi_n) \in F'$, và đặt $f(1) = 0$.

a) Chứng minh rằng, với $1 \leq p \leq +\infty$, hàm $f$ thuộc không gian $\Lambda_{F'}^p$ (xem Bài tập 16).

b) Chứng minh rằng $f$ đo được đối với tôpô $\sigma(F', F)$ và rằng, đối với tôpô này, tồn tại một dãy các hàm bậc thang hội tụ hầu khắp nơi đến $f$.

c) Chứng minh rằng $f$ không đo được đối với tôpô mạnh trên $F'$ (nhận xét rằng $|f(t) - f(t')| = 1$ nếu $0 \leq t < t' < 1$).

d) Chứng minh rằng, trong không gian $\Lambda_{F'}^p$ ($1 \leq p < +\infty$), $f$ không là giới hạn của một dãy các hàm bậc thang. (Rút gọn về việc chỉ xét các hàm bậc thang là các tổ hợp tuyến tính (với các hệ số trong $F'$) của các hàm đặc trưng của các khoảng mà các đầu mút có dạng $k/2^n$; nếu $g$ là một hàm bậc thang như vậy, chứng minh rằng, theo các ký hiệu của Bài tập 16 b), $M_1'(f - g) \geq 1/4$.)

e) Chứng minh rằng không tồn tại ánh xạ $h$ nào từ $T$ vào $F'$, đo được đối với tôpô mạnh, sao cho $f - h$ là không đáng kể vô hướng. (Nhận xét rằng, đối với một ánh xạ như vậy, nhất thiết phải có $N_\infty(h) \leq 1$; khi đó thu được mâu thuẫn với kết quả của d).)