Exercice 17, § 1

Soient $\mu$ la mesure de Lebesgue sur $T = (0, 1)$, $F$ l’espace de Banach $L^1(\mathbf{N})$, $F' = L^\infty(\mathbf{N})$ son dual. Pour tout $t \in (0, 1[$, soit $t = \sum_{n=0}^\infty \xi_n 2^{-n}$ le développement dyadique de $t$; on désigne par $\mathbf{f}(t)$ la suite $(\xi_n) \in F'$, et on pose $\mathbf{f}(1) = 0$.

a) Montrer que la fonction $\mathbf{f}$ appartient à l’espace $\Lambda_{F'}^p$ (cf. exerc. 16) pour $1 \leq p \leq +\infty$.

b) Montrer que $\mathbf{f}$ est mesurable pour la topologie $\sigma(F', F)$ et que, pour cette topologie, il existe une suite de fonctions étagées qui converge presque partout vers $\mathbf{f}$.

c) Montrer que $\mathbf{f}$ n’est pas mesurable pour la topologie forte sur $F'$ (remarquer que $|\mathbf{f}(t) - \mathbf{f}(t')| = 1$ si $0 \leq t < t' < 1$).

d) Montrer que, dans l’espace $\Lambda_{F'}^p$, $(1 \leq p < +\infty)$, $\mathbf{f}$ n’est pas limite d’une suite de fonctions étagées. (Se ramener à ne considérer que les fonctions étagées combinaisons linéaires (à coefficients dans $F'$) de fonctions caractéristiques d’intervalles dont les extrémités sont de la forme $k/2^n$; si $g$ est une telle fonction étagée, montrer qu’avec les notations de l’exerc. 16 b), on a $M_1'(\mathbf{f} - g) \geq 1/4$.)

e) Montrer qu’il n’existe aucune application $\mathbf{h}$ de $T$ dans $F'$, mesurable pour la topologie forte, et telle que $\mathbf{f} - \mathbf{h}$ soit scalairement négligeable. (Remarquer que, pour une telle application, on aurait nécessairement $N_\infty(\mathbf{h}) \leq 1$; obtenir alors une contradiction avec le résultat de d).)