Bài tập 19, § 1

Cho $f$ là một ánh xạ khả tích theo vô hướng một cách thiết yếu theo $\mu$ từ $T$ vào $F$. Với mọi $z' \in F'$, ký hiệu $u_f(z')$ là lớp trong $L^1(\mu)$ của hàm $\langle f, z' \rangle$. Ta sẽ nói rằng $f$ là khả tích tốt theo vô hướng nếu, với mọi hàm $g \in L^\infty(\mu)$, $\int gf \, d\mu \in F$.

a) Để $f$ khả tích tốt theo vô hướng, điều kiện cần và đủ là $u_f$ liên tục đối với các tôpô $\sigma(F', F)$ và $\sigma(L^1, L^\infty)$. Khi đó, ảnh qua $u_f$ của mọi tập con liên tục đều của $F'$ là một tập con tương đối compact yếu của $L^1$. Cụ thể: $\alpha)$ với mọi tập con liên tục đều $H'$ của $F'$ và mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một tập con compact $L$ của $T$ sao cho $\int_{T-L} |\langle f, z' \rangle| \, d\mu \leq \varepsilon$ với mọi $z' \in H'$; $\beta)$ với mọi tập con liên tục đều $H'$ của $F'$ và mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một $\eta > 0$ sao cho, với mọi tập mở $U \subset T$ có độ đo $\mu(U) \leq \eta$, ta có $\int_U |\langle f, z' \rangle| \, d\mu \leq \varepsilon$ với mọi $z' \in H'$ (Chương V, §5, Bài tập 15).

b) Giả sử các điều kiện $\alpha)$ và $\beta)$ của a) được thỏa mãn và hơn nữa, tồn tại một không gian con $H \subset L^\infty$, trù mật đối với tôpô $\sigma(L^\infty, L^1)$, sao cho với mọi hàm $g \in \mathscr{L}^\infty$ có lớp thuộc $H$, ta có $\int gf \, d\mu \in F$. Hãy chứng minh rằng dưới các điều kiện này, nếu thêm vào đó $F$ được giả sử là nửa đầy đủ, thì $f$ là khả tích tốt theo vô hướng. (Trước hết rút gọn về trường hợp $F$ đầy đủ (đối với tôpô ban đầu của nó), và nhận xét rằng $g \mapsto \int gf \, d\mu$ là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ $L^\infty$ vào ${F'}^*$, khi $L^\infty$ được trang bị tôpô $\tau(L^\infty, L^1)$ và ${F'}^*$ được trang bị tôpô của sự hội tụ đều trên các tập con liên tục đều của $F'$.)

c) Giả sử rằng $f$ là khả tích tốt theo vô hướng. Chứng minh rằng với mọi dãy Cauchy $(z'_n)$ đối với tôpô $\sigma(F', F)$, dãy $(u_f(z'_n))$ là hội tụ mạnh trong $L^1$ (sử dụng Bài tập 25 c) của Ch. IV, §5 và Bài tập 16 b) của Ch. V, §5). Từ đó, suy ra rằng nếu $A$ là ảnh của quả cầu đơn vị của $L^\infty$ qua ánh xạ $g \mapsto \int gf \, d\mu$, thì mọi dãy Cauchy $(z'_n)$ đối với tôpô $\sigma(F', F)$ là một dãy Cauchy đối với tôpô hội tụ đều trên $A$.

d) Suy ra từ c) rằng nếu $f$ là khả tích tốt theo vô hướng, thì ảnh qua $u_f$ của mọi tập con của $F'$ là đẳng liên tục và mêtric hóa được đối với $\sigma(F', F)$, là tương đối compact mạnh trong $L^1$. Đặc biệt, nếu $F$ là đối ngẫu $G'$ của một không gian lồi địa phương Hausdorff $G$, nếu $F$ được trang bị một tôpô tương thích với song đối ngẫu giữa $F$ và $G$, và nếu tồn tại trong $G'$ một tập con đếm được trù mật mạnh, thì ảnh qua $u_f$ của mọi tập con bị chặn của $F' = G$ là tương đối compact mạnh trong $L^1$ (nhúng $G$ vào đối ngẫu hai lần của nó).