Exercice 19, § 1

Soit $f$ une application scalairement essentiellement $\mu$-intégrable de $T$ dans $F$. Pour tout $z' \in F'$, on désigne par $u_f(z')$ la classe dans $L^1(\mu)$ de la fonction $\langle f, z' \rangle$. On dit que $f$ est scalairement bien intégrable si, pour toute fonction $g \in L^\infty(\mu)$, on a $\int g f d\mu \in F$.

a) Pour que $f$ soit scalairement bien intégrable, il faut et il suffit que $u_f$ soit continue pour les topologies $\sigma(F', F)$ et $\sigma(L^1, L^\infty)$. Lorsqu’il en est ainsi, l’image par $u_f$ de toute partie équicontinue de $F'$ est une partie relativement faiblement compacte de $L^1$. En particulier : $\alpha)$ pour toute partie équicontinue $H'$ de $F'$ et tout $\varepsilon > 0$, il existe une partie compacte $L$ de $T$ telle que $\int_{T-L} |\langle f, z' \rangle| d\mu \leq \varepsilon$ pour tout $z' \in H'$; $\beta)$ pour toute partie équicontinue $H'$ de $F'$ et tout $\varepsilon > 0$ il existe $\eta > 0$ tel que, pour tout ensemble ouvert $U \subset T$ de mesure $\mu(U) \leq \eta$, on ait $\int_U |\langle f, z' \rangle| d\mu \leq \varepsilon$ pour tout $z' \in H'$ (chap. V, § 5, exerc. 17).

b) On suppose vérifiées les conditions $\alpha)$ et $\beta)$ de a) et en outre qu’il existe un sous-espace $H \subset L^\infty$, dense pour la topologie $\sigma(L^\infty, L^1)$ et tel que, pour toute fonction $g \in L^\infty$ dont la classe est dans $H$, on ait $\int g f d\mu \in F$.

Montrer que dans ces conditions, si on suppose en outre $F$ quasi-complet, $f$ est scalairement bien intégrable. (Se ramener d’abord au cas où $F$ est complet (pour sa topologie initiale), et remarquer que $\dot{g} \to \int g f d\mu$ est une application linéaire continue de $L^\infty$ dans ${F'}^*$, lorsque $L^\infty$ est muni de la topologie $\tau(L^\infty, L^1)$ et ${F'}^*$ de la topologie de la convergence uniforme dans les parties équicontinues de $F'$.)

c) On suppose que $f$ soit scalairement bien intégrable. Montrer que pour toute suite de Cauchy $(z'_n)$ pour la topologie $\sigma(F', F)$, la suite $(u_f(z'_n))$ est fortement convergente dans $L^1$ (utiliser l’exerc. 13 a) du chap. IV, § 6 et l’exerc. 18 b) du chap. V, § 5). En déduire que, si $A$ est l’image de la boule unité de $L^\infty$ par l’application $\dot{g} \to \int g f d\mu$, toute suite de Cauchy $(z'_n)$ pour la topologie $\sigma(F', F)$ est une suite de Cauchy pour la topologie de la convergence uniforme dans $A$.

d) Déduire de c) que, si $f$ est scalairement bien intégrable, l’image par $u_f$ de toute partie de $F'$ équicontinue et métrisable pour $\sigma(F', F)$, est relativement fortement compacte dans $L^1$. En particulier, si $F$ est le dual $G'$ d’un espace localement convexe séparé $G$, si on munit $F$ d’une topologie compatible avec la dualité entre $F$ et $G$, et si dans $G'$ il existe une partie dénombrable fortement partout dense, alors l’image par $u_f$ de toute partie bornée de $F' = G$ est relativement fortement compacte dans $L^1$ (plonger $G$ dans son bidual).