Bài tập 2, § 1

Cho T, X, Y là ba không gian compact địa phương, với Y có một cơ sở đếm được. Cho $\mu$ là một độ đo $\geq 0$ trên T, $t \mapsto \lambda_t$ ($t \in T$) là một họ các độ đo $\geq 0$ $\mu$-thích hợp$^1$ trên X, và đặt $\nu = \int \lambda_t d\mu(t)$. Cho $x \mapsto \rho_x$ ($x \in X$) là một họ các độ đo $\geq 0$ $\nu$-thích hợp trên Y. Hơn nữa, giả sử rằng một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn: a) X là đếm được tại vô hạn; b) $\nu$ bị chặn. Dưới các điều kiện này, hãy chứng minh rằng tồn tại một tập hợp $N'$ $\mu$-không đáng kể địa phương sao cho, với mọi $t \notin N'$, họ $x \mapsto \rho_x$ là $\lambda_t$-thích hợp; hơn nữa, họ $t \mapsto \int \rho_x d\lambda_t(x)$, được xác định với $t \notin N'$, là $\mu$-thích hợp, và

(Để chứng minh rằng $x \mapsto \rho_x$ là khả tích vô hướng theo $\lambda_t$ địa phương hầu khắp nơi, hãy sử dụng Bổ đề 1 của §3, No. 1, bằng cách dùng, trong trường hợp b), sự kiện rằng $\lambda_t$ bị chặn địa phương hầu khắp nơi; dùng cùng phương pháp để thấy rằng $t \mapsto \int \rho_x d\lambda_t(x)$ là khả tích vô hướng theo $\mu$; cũng sử dụng Mệnh đề 13 của No. 5.)

(1) Theo nghĩa của ấn bản thứ nhất của Ch. V (xem chú thích cho §1, No. 1, Ví dụ); tương tự đối với các Bài tập 3 và 4.