Exercice 2, § 1

Soient T, X, Y trois espaces localement compacts, Y ayant une base dénombrable. Soient $\mu$ une mesure $\geq 0$ sur T, $t \to \lambda_t$ ($t \in T$) une famille $\mu$-adéquate de mesures $\geq 0$ sur X, et posons $\nu = \int \lambda_t d\mu(t)$. Soit $x \to \rho_x$ ($x \in X$) une famille $\nu$-adéquate de mesures $\geq 0$ sur Y. On suppose en outre que l'une des deux conditions suivantes est vérifiée : a) X est dénombrable à l'infini ; b) $\nu$ est bornée. Dans ces conditions, montrer qu'il existe un ensemble localement $\mu$-négligeable N' tel que, pour tout $t \notin N'$, la famille $x \to \rho_x$ soit $\lambda_t$-adéquate ; en outre, la famille $t \to \int \rho_x d\lambda_t(x)$, définie pour $t \notin N'$, est $\mu$-adéquate, et l'on a

(Pour démontrer que $x \to \rho_x$ est scalairement $\lambda_t$-intégrable localement presque partout, utiliser le lemme 1 du § 3, no 1, en utilisant, dans le cas b), le fait que $\lambda_t$ est bornée localement presque partout ; même méthode pour voir que $t \to \int \rho_x d\lambda_t(x)$, est scalairement $\mu$-intégrable ; utiliser aussi la prop. 13 du no 5).

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