Bài tập 20, § 1

Cho $F$ là một không gian lồi địa phương Hausdorff, $F'$ là đối ngẫu của nó, $\mathscr{G}'$ là tập hợp các tập con $A' \subset F'$ sao cho mọi dãy điểm của $A'$ đều có một dãy con hội tụ theo $\sigma(F', F)$. Chứng minh rằng, đối với một tập con bị chặn $A$ của $F$, các điều kiện sau là tương đương: $\alpha)$ $A$ là tiền compact đối với tôpô $\mathscr{G}'$; $\beta)$ mọi dãy hội tụ theo $\sigma(F', F)$ đều hội tụ đều trên $A$. (Gọi $\mathscr{G}$ là tập hợp tạo thành bởi các tập con hữu hạn của $F$ và của $A$; nhận xét rằng $\beta$) suy ra rằng mọi tập $A' \in \mathscr{G}'$ đều tiền compact đối với tôpô $\mathscr{G}$, sử dụng Bài tập 6 của GT, II, §4. Sau đó áp dụng Bài tập 4 của TVS, IV, §1.)