Exercice 20, § 1

Soient $F$ un espace localement convexe séparé, $F'$ son dual, $\mathscr{S}'$ l’ensemble des parties $A' \subset F'$ telles que de toute suite de points de $A'$ on puisse extraire une suite convergente pour $\sigma(F', F)$. Montrer que, pour une partie bornée $A$ de $F$, les conditions suivantes sont équivalentes : $\alpha)$ $A$ est précompact pour la $\mathscr{S}'$-topologie ; $\beta)$ toute suite convergente pour $\sigma(F', F)$ converge uniformément dans $A$. (Soit $\mathscr{S}$ l’ensemble formé des parties finies de $F$ et de $A$; remarquer que $\beta$) entraîne que toute partie $A' \in \mathscr{S}'$ est précompacte pour la $\mathscr{S}$-topologie, en utilisant l’exerc. 2 de Top. gén., chap. II, § 4. Appliquer ensuite l’exerc. 12 de Esp. vect. top., chap. IV, § 1.)