Bài tập 17, § 2

Cho $\mu$ là độ đo Lebesgue trên $T = [0, 1]$; ánh xạ $f \mapsto f \cdot \mu$ của $C(T)$ vào $M(T)$ là liên tục đối với tôpô mạnh trên $M(T)$, do đó là một độ đo vectơ $m$ với các giá trị trong không gian Banach đó. Chứng minh rằng $m$ có cơ sở vô hướng $\mu$ và tuyệt đối liên tục đối với $\mu$ đối với tôpô mạnh, nhưng $m$ không có cơ sở $\mu$ (đối với tôpô mạnh trên $M(T)$). (Nhận thấy rằng $m$ có cơ sở $\mu$ đối với tôpô yếu $\sigma(M(T), C(T))$, và suy ra từ đó rằng nếu có $m = g \cdot \mu$, với $g$ khả tích $\mu$ vô hướng (đối với tôpô mạnh trên $M(T)$), thì tất yếu phải có $g(t) = \varepsilon_t$ hầu khắp nơi. Chứng minh rằng điều này dẫn đến một mâu thuẫn, bằng cách nhận thấy rằng với mọi hàm số số bị chặn $\theta$ trên $T$, dạng tuyến tính $z' : \lambda \mapsto \sum_{t \in T} \theta(t) \lambda(\{t\})$ trên $M(T)$ là liên tục nhưng $\langle g, z' \rangle$ không nhất thiết là $\mu$-đo được.)