Exercice 17, § 2

Soit $\mu$ la mesure de Lebesgue sur $T = \{0, 1\}$; l’application $f \to f \cdot \mu$ de $C(T)$ dans $\mathscr{M}(T)$ est continue pour la topologie forte sur $\mathscr{M}(T)$, et est donc une mesure vectorielle $m$ à valeurs dans cet espace de Banach. Montrer que $m$ est scalairement de base $\mu$ et absolument continue par rapport à $\mu$ pour la topologie forte, mais que $m$ n’est pas de base $\mu$ (pour la topologie forte sur $\mathscr{M}(T)$). (Remarquer que $m$ est de base $\mu$ pour la topologie vague $\sigma(\mathscr{M}(T), C(T))$), et en déduire que, si on avait $m = g \cdot \mu$, où $g$ est scalairement $\mu$-intégrable (pour la topologie forte sur $\mathscr{M}(T)$), on aurait nécessairement $g(t) = \varepsilon_t$ presque partout. Montrer que cela entraîne contradiction, en remarquant que, pour toute fonction numérique bornée $\theta$ sur $T$, la forme linéaire $z' : \lambda \to \sum_{t \in T} \theta(t) \lambda(\{t\})$ sur $\mathscr{M}(T)$ est continue mais que $\langle g, z' \rangle$ n’est pas nécessairement $\mu$-mesurable.)