Bài tập 25, § 2

Cho $\mu$ là một độ đo dương trên T.

a) Cho f là một ánh xạ đo được vô hướng $\mu$ của T vào một không gian Banach F, sao cho $f(T)$ tương đối compact đối với $\sigma(F, F')$. Chứng minh rằng tồn tại một ánh xạ đo được $\mu$ g của T vào F sao cho $f - g$ là không đáng kể địa phương vô hướng. (Xét ánh xạ $h \mapsto \int fh\, d\mu$ của $L^1(\mu)$ vào F, và áp dụng Bài tập 24 cho nó, cũng dùng Bài tập 10 của Ch. IV, §7.)

b) Cho f là một ánh xạ đo được vô hướng $\mu$ của T vào một không gian Fréchet phản xạ F. Chứng minh rằng tồn tại một ánh xạ đo được $\mu$ g của T vào F sao cho $f - g$ là không đáng kể địa phương vô hướng (xem Bài tập 15 b)). (Rút gọn về trường hợp T compact, dùng Mệnh đề 14 của Ch. IV, §5, No. 9. Tiếp theo, áp dụng Bài tập 23 c) của §1 để rút gọn về trường hợp $f(T)$ bị chặn trong F. Sau đó nhúng F vào một tích đếm được các không gian Banach, và dùng a).)

c) Cho f là một ánh xạ của T vào một không gian Fréchet F, $\mu$-đo được đối với tôpô $\sigma(F, F')$. Chứng minh rằng f là $\mu$-đo được đối với tôpô ban đầu của F. (Rút gọn về trường hợp T compact và f liên tục đối với tôpô $\sigma(F, F')$; kết luận như trong b).)