Exercice 25, § 2

Soit $\mu$ une mesure positive sur T.

a) Soit f une application scalairement $\mu$-mesurable de T dans un espace de Banach F, telle que $f(T)$ soit relativement compacte pour $\sigma(F, F')$. Montrer qu’il existe une application $\mu$-mesurable g de T dans F, telle que $f - g$ soit scalairement localement négligeable. (Considérer l’application $\tilde{h} \to \int f h d\mu$ de $L^1(\mu)$ dans F, et lui appliquer l’exerc. 24, en utilisant aussi l’exerc. 19 du chap. IV, § 4.)

b) Soit f une application scalairement $\mu$-mesurable de T dans un espace de Fréchet réflexif F. Montrer qu’il existe une application $\mu$-mesurable g de T dans F telle que $f - g$ soit scalairement localement négligeable (cf. exerc. 15 b)). (Se ramener au cas où T est compact, en utilisant la prop. 4 du chap. V, § 1, n° 4. Appliquer ensuite l’exerc. 23 c) du § 1 pour se ramener au cas où f(T) est borné dans F. Plonger ensuite F dans un produit dénombrable d’espaces de Banach, et utiliser a)).

c) Soit f une application de T dans un espace de Fréchet F, μ-mesurable pour la topologie σ(F, F'). Montrer que f est μ-mesurable pour la topologie initiale de F. (Se ramener au cas où T est compact et f continue pour la topologie σ(F, F'); terminer comme dans b).)