Bài tập 11, § 1

Cho $G$ là một nhóm compact địa phương không rời rạc đếm được tại vô cực, $\beta$ là một độ đo Haar trái trên $G$. Chứng minh rằng mọi lân cận compact $V$ của $e$ đều chứa một nhóm con chuẩn tắc $H$ của $G$, không đáng kể theo $\beta$ và sao cho $G/H$ là một nhóm compact địa phương Polish. (Có thể tiến hành như sau: cho $L$ là nhóm con mở của $G$ sinh bởi $V$; cho $b_1, b_2, \ldots$ là các đại diện của các lớp kề trái đối với $L$. Dựng một dãy giảm $(V_n)$ các lân cận đối xứng của $e$ sao cho: 1) $V_n^2 \subset V_{n-1}$; 2) $xV_nx^{-1} \subset V_{n-1}$ với mọi $x \in V$; 3) $b_i V_n b_i^{-1} \subset V_{n-1}$ với $1 \leq i \leq n$; 4) $\beta(V_n) \leq 1/n$. Đặt $H = V_1 \cap V_2 \cap \cdots$.

Cho $(f_n)$ là một dãy các hàm số liên tục đều đối với cấu trúc đều trái của $G$. Chứng minh rằng $H$ có thể được dựng sao cho, ngoài ra, các $f_n$ là hằng trên các lớp kề của $H$. (Trong phép dựng trước đó, lấy $V_n$ sao cho $|f_i(x) - f_i(y)| \leq 1/n$ với $x^{-1}y \in V_n$ và $1 \leq i \leq n$.)

Cho $(g_n)$ là một dãy các hàm số khả tích theo $\beta$ trên $G$. Chứng minh rằng $H$ có thể được dựng sao cho, ngoài ra, mỗi $g_n$ bằng hầu khắp nơi một hàm hằng trên các lớp kề của $H$.