Exercice 11, § 1

Soient G un groupe localement compact non discret dénombrable à l’infini, $\beta$ une mesure de Haar à gauche de G. Montrer que tout voisinage compact V de e contient un sous-groupe distingué H de G, $\beta$-négligeable et tel que G/H soit un groupe localement compact polonais. (On pourra procéder de la façon suivante : soit L le sous-groupe ouvert de G engendré par V ; soient $b_1, b_2, \ldots$ des représentants des classes à gauche suivant L. Former une suite décroissante $(V_n)$ de voisinages symétriques de e tels que : 1) $V_n^2 \subset V_{n-1}$; 2) $xV_nx^{-1} \subset V_{n-1}$ pour tout $x \in V$; 3) $b_i V_n b_i^{-1} \subset V_{n-1}$ pour $1 \leq i \leq n$; 4) $\beta(V_n) \leq 1/n$. Poser $H = V_1 \cap V_2 \cap \ldots$).

Soit $(f_n)$ une suite de fonctions numériques uniformément continues pour la structure uniforme gauche de G. Montrer qu’on peut construire H de manière que, de plus, les $f_n$ soient constantes sur les classes suivant H. (Dans la construction précédente, prendre $V_n$ tel que l’on ait $|f_i(x) - f_i(y)| \leq 1/n$ pour $x^{-1}y \in V_n$ et pour $1 \leq i \leq n$).

Soit $(g_n)$ une suite de fonctions numériques $\beta$-intégrables sur G. Montrer qu’on peut construire H de manière que, de plus, chaque $g_n$ soit égale presque partout à une fonction constante sur les classes suivant H.