Bài tập 15, § 1

Cho $G$ là một nhóm compact địa phương, $H$ là một nhóm con đóng của $G$, sao cho $G$ tác động liên tục lên $G/H$. Giả sử rằng $H$ thỏa mãn điều kiện sau: với mọi lân cận $V$ của $e$ trong $G$, tồn tại một lân cận $U$ của $e$ trong $G$ sao cho $HU \subset VH$ (chú ý rằng điều kiện này được thỏa mãn bởi mọi nhóm con $H$ của $G$ nếu $e$ thừa nhận một hệ cơ bản các lân cận bất biến dưới mọi tự đẳng cấu trong của $G$). Chứng minh rằng khi đó tồn tại một độ đo dương khác không trên $G/H$ bất biến dưới $G$. (Dùng cùng phương pháp như trong chứng minh của Định lý 1 của No. 2, bằng cách nhận thấy, một mặt, rằng khi $U$ chạy qua tập hợp các lân cận của $e$ trong $G$, các ảnh của các tập hợp $HUH$ qua ánh xạ chính tắc $\pi : G \to G/H$ tạo thành một hệ cơ bản các lân cận của $\pi(H)$; mặt khác, với mọi lân cận $V$ của $e$ trong $G$ và mọi tập con compact $K$ của $G$, tồn tại một lân cận $U$ của $e$ trong $G$ và một tập con compact $L$ của $G$ sao cho mọi tập hợp có dạng $sHUH$ giao với $KH$ đều có dạng $s'HUH$ với $s' \in L$.)