Exercice 15, § 1

Soient $G$ un groupe localement compact, $H$ un sous-groupe fermé de $G$, de sorte que $G$ opère continûment dans $G/H$. On suppose que $H$ vérifie la condition suivante : pour tout voisinage $V$ de $e$ dans $G$, il existe un voisinage $U$ de $e$ tel que $HU \subset VH$ (noter que cette condition est vérifiée pour tout sous-groupe $H$ de $G$ si $e$ admet un système fondamental de voisinages invariants par tout automorphisme intérieur de $G$). Montrer qu’il existe alors sur $G/H$ une mesure positive non nulle invariante par $G$. (On utilisera la même méthode que dans la démonstration du th. 1 du no 2, en remarquant, d’une part que lorsque $U$ parcourt l’ensemble des voisinages de $e$ dans $G$, les images des ensembles $HUH$ par l’application canonique $\pi : G \to G/H$ forment un système fondamental de voisinages de $\pi(H)$; d’autre part, pour tout voisinage $V$ de $e$ dans $G$ et toute partie compacte $K$ de $G$, il existe un voisinage $U$ de $e$ dans $G$ et une partie compacte $L$ de $G$ tels que tout ensemble de la forme $sHUH$ qui rencontre $KH$ soit de la forme $s'HUH$, avec $s' \in L$).