Bài tập 16, § 1

Cho $G$ là một nhóm Abel compact, $E$ là một tập con trù mật của $G$ ổn định đối với luật hợp thành của $G$. Giả sử rằng, đối với mọi hàm số bị chặn $f$ trên $E$, có xác định một số $M(f)$ có tính chất sau: đối với hai hàm số bị chặn bất kỳ $f, g$ trên $E$, đối với các phần tử $a_i, b_k$ bất kỳ của $E$ ($1 \leq i \leq m, 1 \leq k \leq n$), và đối với các số thực $\alpha_i, \beta_k$ bất kỳ ($1 \leq i \leq m, 1 \leq k \leq n$) sao cho

với mọi $x \in E$, khi đó ta có bất đẳng thức

Giả sử thêm rằng $M(1) = 1$ (xem TVS, IV, Phụ lục).

a) Cho $\mu$ là độ đo Haar chuẩn hóa trên $G$. Chứng minh rằng đối với mọi hàm số liên tục $f$ trên $G$, $\int f d\mu = M(f|E)$. (Bằng cách xét một phân hoạch đơn vị thích hợp, xấp xỉ hàm hằng bằng $\int f d\mu$ trên $E$ bằng các hàm có dạng $x \mapsto \sum_i \alpha_i f(xa_i)$, trong đó $a_i \in E$.)

b) Suy ra từ a) rằng nếu đặt $\nu(B) = M(\varphi_B)$ đối với mọi tập con $B$ của $E$, thì $\nu(U \cap E) \geq \mu(U)$ đối với mọi tập mở $U$ của $G$, và $\nu(F \cap E) \leq \mu(F)$ đối với mọi tập đóng $F$ của $G$. Đối với mọi tập hợp $\mu$-đo được $P$ của $G$ (Ch. IV, §5, Bài tập 17 d)), ta có $\nu(P \cap E) = \mu(P)$.