Exercice 16, § 1

Soient $G$ un groupe abélien compact, $E$ une partie dense de $G$, stable pour la loi de composition de $G$. On suppose que, pour toute fonction numérique bornée $f$ sur $E$, on ait défini un nombre $M(f)$ ayant la propriété suivante : quelles que soient les deux fonctions bornées $f, g$ sur $E$, les éléments $a_i, b_k$ de $E$ ($1 \leq i \leq m, 1 \leq k \leq n$), les nombres réels $\alpha_i, \beta_k (1 \leq i \leq m,\ 1 \leq k \leq n)$ tels que l’on ait

pour tout $x \in E$, alors il en résulte l’inégalité

On suppose en outre que $M(1) = 1$ (cf. Esp. vect. top., chap. II, Appendice).

a) Soit $\mu$ la mesure de Haar normalisée sur G. Montrer que pour toute fonction numérique continue $f$ sur G, on a $\int f d\mu = M(f|E)$. (En considérant une partition de l’unité convenable, approcher arbitrairement la fonction constante égale à $\int f d\mu$ dans E par des fonctions de la forme $x \to \sum_i \alpha_i f(xa_i)$, où $a_i \in E$.)

b) Déduire de a) que si l’on pose $\nu(B) = M(\varphi_B)$ pour toute partie B de E, alors, pour toute partie ouverte U de G, on a $\nu(U \cap E) \geq \mu(U)$, et pour toute partie fermée F de G, $\nu(F \cap E) \leq \mu(F)$. Pour toute partie $\mu$-quarrable P de G (chap. IV, § 5, exerc. 13 d)), on a $\nu(P \cap E) = \mu(P)$.